三阶魔方，一个43252003274489856000阶的群。
前言
对群的性质熟悉的同学在看到这个title后只需短暂思考几秒，就不难发现，把对魔方的每一个操作看作一个元素，魔方简直就是一个非常标准的群：
1.可结合：$(RU)R$ 和 $R(UR)$ 完全一致。
2.有单位元：不进行任何操作就是单位元。
3.有逆元：$R$ 逆元 $R’$，$RUL$ 逆元 $L’U’R’$，任何操作的逆操作就是它的逆元。
写到这里给对魔方不熟悉的小伙伴放一张图解释一下：
U对应的操作就是将U面顺时针转动90°U'对应的操作就是将U面逆时针转动90°R对应的操作就是将R面顺时针转动90°
……
相信你已经对“魔方”是一个“群”这个观点初步认可了，下面开始探究：这个“群”有什么性质，这个视角能为我们带来什么…
魔方群的元素
首先，我们可以给出这个三阶魔方群中的一些最基本的元素：不操作（单位元），$R$ ，$R’$ ，$U$ ，$U’$ ，$L$ ，$L’$ ，$B$ ，$B’$ ，$D$ ，$D’$ ，$F$ ，$F’$ 。
其他所有的元素都可以由这些基本元素组合而成。
我们记集合 G 为上述所有基本元素任意组合而成的元素。 不难发现，以 G 为集合的代数系统是不构成群的：元素的逆元不唯一了。如：单位元的逆元，既可以是单位元，也可以是 $RR’$，$U’U$ 等等，即魔方中不同的操作可以达成相同的效果。
因此，希望魔方真正意义上成为一个群，我们需要做一些修正：在集合 G 上规定一个等价关系 R，当两个操作a, b的运算结果相同时，认为 aRb，即a操作与b操作等价。
有了这个等价关系，取 S 为 G 关于 R 的等价类的集合，记作 S = G / R 。在 S 集合下，每一个元素(等价类)都有唯一对应的逆元(等价类)，”魔方”正式成为了一个”群”。
魔方群的阶
你是否跟我一样好奇，一个魔方有多少种打乱状态呢。计算是这样的：
$$
\frac{8!\times3^8\times12!\times2^{12}}{3\times2\times2}=43252003274489856000
$$
有超过4.3千亿亿种打乱状态。（顺带提一句，目前通过计算机验证，任何一种打乱状态都可以在20步以内还原，很神奇吧）
接下来说说这个计算是怎么来的。
六个中心块固定朝向后，就不能翻转魔方了，此时：
8个角块有 8! 种摆放方式；
每个角块3个朝向，故角块共有 $3^8$ 种朝向情况；
12个棱块有 12! 种摆放方式；
每个棱块2个朝向，故棱块共有 $2^{12}$ 种朝向情况；
保持其他色块不动，不可单独改变一个角块朝向，不可单独改变一个棱块朝向，不可单独交换一对棱块或一对角块的位置，故总情况数需分别除以3，2，2。
至此，我们知道，三阶魔方是一个43252003274489856000阶的有限群。
既然是有限群，就应该具有有限群的性质了：对任意元素 $a$，都存在一个周期 $r$，使得 $a^r=e$ 。
对应到魔方上就是：对一个还原的魔方循环重复任何一个操作，总会重新回到还原状态。
little tip
Q：学会从群论的视角看魔方能让我从sub20进步到sub10吗？
A：不能。