拓展一下概率论中给出的卷积公式。
提要
课本给出了如下结论：
设 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y)$，则 $Z=X+Y$ 的密度为
$$
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, z-x)\mathrm dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y, y)\mathrm dy
$$
但在实际使用中， $Z=X+Y$ 的条件不总是出现，我们仍需要先计算分布函数后求导，十分繁琐。
因此，我们在本文中会给出一个更加广泛的结论，解决此类问题。先展示结论：
设 $Z=z(X,Y)$，且 $X$ 与 $Y$ 能够表示为另外两个变量的函数，即存在 $X=x(Y,Z)$ , $Y=y(X,Z)$ 时
$$
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y(x,z))\left|\frac{\partial(y(x,z))}{\partial z}\right|\mathrm dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x(y,z), y)\left|\frac{\partial(x(y,z))}{\partial z}\right|\mathrm dy
$$
证明
设 $z$ 的分布函数为 $F_Z(z)$ ，有：
$$
F_Z(z)=\iint_{z(x, y)\leq z} f(x,y)\mathrm dx\mathrm dy
$$
作换元 $u=x$, $v=z(x,y)$ , 即 $x=u$, $y=y(u,v)$
得到其雅可比行列式：
$$
\frac{\partial(x, y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\
\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
1 & 0\\
\frac{\partial y(u,v)}{\partial u}&\frac{\partial y(u,v)}{\partial v}
\end{vmatrix}= \frac{\partial y(u,v)}{\partial v}
$$
于是
$$
\begin{aligned}F_Z(z)=&\iint_{v\leq z} f(u,y(u,v))\left|\frac{\partial y(u,v)}{\partial v}\right|\mathrm du\mathrm dv\\=&\int_{-\infty}^{z}\mathrm dv\int_{-\infty}^{+\infty}f(u,y(u,v))\left|\frac{\partial y(u,v)}{\partial v}\right|\mathrm du\end{aligned}
$$
求导得到 $z$ 的概率密度
$$
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y(x,z))\left|\frac{\partial y(x,z)}{\partial z}\right|\mathrm dx
$$
另一侧同理可得，证明完毕。
此公式在解决多维函数变量公式时是非常行之有效的，读者可自行利用例题验证。